狭义相对论部分方程推导

质能方程推导

洛伦兹因子 $\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = γ$ 这个可用从速度，时间的洛伦兹变换中推导出来(可用参考狭义相对论杂谈#2.1时间膨胀),这个因子在狭义相对论中一直是大于1的。 $v = \frac{v^{'}}{γ}$ 动系速度v'被静系观察者测量后计算成比较慢的v。

动量守恒结合速度叠加可以得出质能方程推导质量变化公式： $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$ m0指静止质量，m为相对论质量。这里蕴含着该速度是相对于一个参考系测量的，具体推导参考狭义相对论部分方程推导#质量变化公式推导。

$d E_{k} = F d x$ 根据动能基本表达式出发。F=dP/dt 而dx=vdt
$d E_{k} = \frac{d P}{d t} v d t = v d (m v) = v^{2} d m + m v d v$ (1)

根据相对论质量变化公式 $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$ 化简 $m^{2} c^{2} - m^{2} v^{2} = m_{0}^{2} c^{2}$
因为m,v都是t的函数，将该式两边对t微分，得

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [m^{2} c^{2} - m^{2} v^{2} = m_{0}^{2} c^{2}] (对 等 式 两 边 进 行 对 时 全 微 分) \\ => 2 m c^{2} d m - 2 m v^{2} d m - 2 v m^{2} d v = 0 (m_{0}^{2} c^{2} 为 c o n s t a n t ） \end{array}

=> $c^{2} d m = v^{2} d m + m v d v$ (2)

把（2）式带入（1）得到 $d E_{k} = c^{2} d m$ (3)
对（3）积分 $E_{k} = \int_{m 0}^{m} c^{2} d m = m c^{2} - m_{0} c^{2}$
这就是相对论下的动能公式。当速度为0时 m0=m 这个时候动能为0。

$m_{0} c^{2}$ 为物体静止时的能量。而总能量=静止能量+动能，因此总能量E= $m_{0} c^{2} + E_{k}$ ，化简得到质能方程 $E = m c^{2}$ ，这个方程揭示一个更本质的过程，一切释放能量的过程都会损失质量，一切获取能量的过程都会增加质量，一般情况能量对于这个光速而言太小了导致质量变化极其小，很难感受到。

质能到经典动能方程

我们可用通过一个简单推导从定义和质量变化关系得到经典动能方程，推导过程如下:

当v<<c远远小于光速c的时候，可以得到经典的动能方程，过程如下：
$E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2} = c^{2} \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} - m_{0} c^{2} = m_{0} c^{2} (1 - (\frac{v}{c})^{2})^{- \frac{1}{2}} - m_{0} c^{2}$

$f (x) = (1 + x)^{a}$ 在零点的泰勒展开式为:
$f (x) = (1 + x)^{a} = 1 + \frac{a}{1!} x + \frac{a (a - 1)}{2!} x^{2} + \frac{a (a - 1) (a - 2)}{3!} x^{3} + . . .$

我们把动能方程部分表达式 $(1 - (\frac{v}{c})^{2})^{- \frac{1}{2}}$ 当作f(x) ，
根据上面的泰勒零点展开方程，我们将 $a = - \frac{1}{2}$ , $x = - (\frac{v}{c})^{2}$ 带入，得
$(1 - (\frac{v}{c})^{2})^{- \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} + \frac{3}{8} \frac{v^{4}}{c^{4}} + . . .$

我们可以取前两项的近似值带入 $E_{k} = m_{0} c^{2} (1 - (\frac{v}{c})^{2})^{- \frac{1}{2}} - m_{0} c^{2}$ 化简得到:

$E_{k} = \frac{1}{2} m_{0} v^{2}$ 就是经典的动能方程。

质量变化公式推导

质量变化推导的方法很多，我这里就介绍一种比较简单。如图所示，A参考系有一个质量为 $m_{0}$ 的小球a相对A参考系静止，A‘参考系也有一个质量为 $m_{0}$ 的a'小球相对A’参考系静止。A参考系和小球a一起以相对A'系v向右做匀速运动。设a小球在A’参考系质量是m根据对称性原则a'小球在A参考系质量也是m。假设两个小球碰到一起后合成一体，并相对A参考系的速度是u，相对A‘参考系的速度是u'。

因为在两个参考系动量守恒都要成立，A参考系的撞击前后动量守恒 $m_{0} v = (m_{0} + m) u$ ,A‘参考系的撞击前后动量守恒 $- m_{0} v = (m_{0} + m) u^{'}$
根据前面两个动量守恒的结果可得到 u’=-u 。由洛伦兹速度变换公式 $u^{'} = \frac{(u - v)}{(1 - \frac{u v}{c^{2}})}$ 把u‘=-u带入到洛伦兹速度变换公式 $(\frac{v}{u})^{2} - 2 \frac{v}{u} + (\frac{v}{c})^{2} = 0$ 解一元二次方程得到 $\frac{v}{u} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ 由于v>u ,故 $\frac{v}{u} = 1 + \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

又因为 $m_{0} v = (m_{0} + m) u$ => $\frac{v}{u} = \frac{m_{0} + m}{m_{0}}$ => $1 + \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = 1 + \frac{m}{m_{0}}$ => $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$

这公式是描述有静止质量的后的质量变化。更普适的质量表达公式可用用质能方程表示 $m = \frac{E}{c^{2}}$ 这一公式可用适合所有例子，包括静止质量为0的光子。

一个系统的静质量并不等于组成这一系统的所有物体的静质量的和，除非在这一系统中的所有物体在质心系是静止的而不具有其它形式的能量（如场能）。一个系统所具有的静质量等于它在质心系所具有的能量（包括场能）。所以许多系统的总质量小于其中每个物体质量的和，如1个氢原子的静止质量小于1电子质量＋1质子质量（由于电场能为负）。

相对论能量-动量方程

通过质能方程 $E = m c^{2}$ 和质量变化方程 $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$ 就可用凑出相对论能量-动量方程” 动量 $p = m v = \frac{m_{0} v}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$ 两边求平方 $p^{2} = \frac{(m_{0} v)^{2}}{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}$

继续化简 $\frac{P^{2}}{v^{2}} c^{2} - p^{2} = m_{0}^{2} c^{2}$ $E = m c^{2} = \frac{p}{v} c^{2}$

最后推导出来相对论能量-动量方程。 $E^{2} - (p c)^{2} = (m_{0} c^{2})^{2}$
从这里，我们可以看到物体总能E和它的静能量以及动量相依；一旦动量随速度v增加而增加，总能量也会发生一样的事。

此方程对无(静)质量的光子而言也适用： $E^{2} - (p c)^{2} = 0$ => $p = E / c$ 因此一个光子的动量是其能量的函数，而非与其速度成正比，真空中的光速是常数。

通过能动方程我们还可用看一下能量和静质量的关系，假设物体运动速度为0，再把常数c设置成为单位1 能动方程化简成 $E = m_{0}$ 其实这些主要想带来更多的思考，希望带来对质量更多的认识和思考。

我们把能量和动量组合在一起（E,Px,Py,Pz），形成了一个四维矢量，叫四维动量。它的模是 $E^{2} - (p)^{2} = (m_{0})^{2}$ （把常数c设置成为单位1），它不随参照系的改变而改变。而物体所产生的引力和物体所受到的引力大小，就是根据四维动量定义出来的能动张量决定的。这个以后我们可用聊广义相对论的时候再讨论交流。

时空间隔推导

首先，回顾洛伦兹变换的基本形式，对于一个沿x轴运动的参考系，变换公式为：

\begin{aligned} t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c^{2}}) \\ x^{'} = γ (x - v t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ 其 中 (γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}) 是 洛 伦 兹 因 子 ， (v) 是 相 对 速 度 ， (c) 是 光 速 。 \end{aligned}

洛伦兹变换的推导式依据是真空中光速在任何惯性参考系的速度都是c，那时空间隔的推导其实基于时间和空间作为一个整体度量应该在所有惯性参考系中保持不变。这不是随意的决定，而是为了满足洛伦兹变换下的物理定律的不变性。这种设置确保了在任何惯性参考系中，物理事件的基本关系和结构都是相同的，从而支持了相对论的核心原理，是相对论框架内确保物理定律普适性的必要条件。

空间三个方向平权，参数都可用选择1，时间参数我们可用假定为 $α$ ,我们可用假设时空间隔公式如下:
$s^{2} = α Δ t^{2} + Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}$
为了简化，因为空间三个方向是平权的，我们推导的时候可用忽略掉y,z方向，这样时空间隔假设可用简化成 $s^{2} = α Δ t^{2} + Δ x^{2}$

根据设定，在所有惯性参考系中这个数值要保持不变，也就是 $s^{2} = s^{' 2}$

\begin{aligned} 将 洛 伦 兹 变 换 (Δ t^{'}) 和 (Δ x^{'}) 取 平 方 \\ Δ t^{' 2} = γ^{2} (Δ t - \frac{v Δ x}{c^{2}})^{2} = γ^{2} (Δ t^{2} - 2 \frac{v Δ x Δ t}{c^{2}} + \frac{v^{2} Δ x^{2}}{c^{4}}) \\ Δ x^{' 2} = γ^{2} (Δ x - v Δ t)^{2} = γ^{2} (Δ x^{2} - 2 v Δ x Δ t + v^{2} Δ t^{2}) \\ s^{2} = s^{' 2} => α Δ t^{2} + Δ x^{2} = α Δ t^{' 2} + Δ x^{' 2} \\ α Δ t^{2} + Δ x^{2} = α γ^{2} (Δ t^{2} - 2 \frac{v Δ x Δ t}{c^{2}} + \frac{v^{2} Δ x^{2}}{c^{4}}) + γ^{2} (Δ x^{2} - 2 v Δ x Δ t + v^{2} Δ t^{2}) \\ 因 为 时 间 和 空 间 变 化 都 是 变 量, 如 果 想 让 等 式 要 成 立 ， \\ 最 基 本 要 求 就 是 先 把 等 式 右 边 的 Δ t 和 Δ x 的 一 次 项 消 除 。 \\ 所 以 α = - c^{2} 。 \\ 严 格 把 洛 伦 兹 因 子 带 入 ， 做 计 算 也 能 得 到 α = - c^{2} \end{aligned}

最后得到我们的时空间隔公式: $s^{2} = - c^{2} Δ t^{2} + Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}$